题目内容

精英家教网如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
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）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）2+
9
2
，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P1 （1，
17
），P2 （1，-
17
），P3 （1，8），P4 （1，
17
8
）；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线的顶点为（1，
9
2
）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
9
2
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0-1）2+
9
2
=4
解得a=-
1
2

∴所求抛物线的函数关系式为y=-
1
2
（ x-1）2+
9
2

（2）P1 （1，
17
），P2 （1，-
17
），P3 （1，8），P4 （1，
17
8
），

（3）存在．
令-
1
2
（ x-1）2+
9
2
=0，解得x1=-2，x2=4
∴抛物线y=-
1
2
（ x-1）2+
9
2
与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴
MF
OC
=
EB
AB

又∵OC=4，AB=6，
∴MF=
EB
AB
×OC=
2
3
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设E点坐标为 （x，0），则EB=4-x，MF=
2
3
 （4-x）
∴S=S△BCE-S△BEF=
1
2
 EB•OC-
1
2
 EB•MF
=
1
2
 EB（OC-MF）=
1
2
 （4-x）[4-
2
3
 （4-x）]
=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
=-
1
3
（ x-1）2+3
∵a=-
1
3
＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
练习册系列答案
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（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
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8
，求这时点P的坐标．
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5
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5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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