题目内容

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD²=AE•AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求 $数学公式$ 的值．

（1）解：

如图；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，

∴AD：AB=AE：AD，
∴AD²=AE•AB；

（3）解：连OD、BC，它们交于点G，如图，
∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，
∴不妨设AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CAD=∠DAB，
∴弧DC=弧DB，
∴OD垂直平分BC，
∴OD∥AE，
∴OG= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ x，∠AED=90°，
∴四边形ECGD为矩形，
∴CE=DG=OD-OG= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x=x，
∴AE=AC+CE=3x+x=4x，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△DOF，
∴AE：OD=EF：OF，
∴EF：OF=4x： $\text{[math]}$ x=8：5，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD²=AE•AB；
（3）连OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到弧DC=弧DB，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有OD∥AE，OG= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ x，并且得到四边形ECGD为矩形，则CE=DG=OD-OG= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x=x，可计算出AE=AC+CE=3x+x=4x，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x： $\text{[math]}$ x=8：5，
然后根据比例的性质即可得到 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查了圆的综合题：平分弦所对的弧的直径垂直平分弦；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；直径所对的圆周角为直角；运用相似三角形的判定与性质证明等积式和几何计算；掌握基本的几何作图．