Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线上的一个动点，点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时，求的值；

（3）是抛物线上一动点，连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，求对应的点坐标.

Answer 1

【答案】（1）.（2）或.（3）点的坐标为，，

，.

【解析】

（1）将和点代入解析式解方程即可；

（2）将的坐标表示，把坐标代入解析式求m即可；

（3）利用正方形性质和一线三直角几何模型，找到全等三角形，根据直角边解方程即可.

（1）∵抛物线经过点和点.

得，解得

∴抛物线的解析式为.

（2）∵与关于原点对称，

∴的坐标为.

∵，都在抛物线上，

∴，.

∴.

解得或.

（3）当点落在轴上时，

如图1，过点作轴于点，

∵四边形是正方形，

∴，.

∴.

∵，

∴.

∴.

又，

∴.

∴.

∴，有，

解得或（舍去）.

∴点坐标为.

如图2，过点作轴于点，

同理可以证得，

∴.

∴，有，

解得或（舍去）.

∴点坐标为.

当点落在轴上时，

如图3，过点作轴于点，过点作于点，

同理可以证得，

∴，

∴，有，

解得或（舍去）.

∴点坐标为.

如图4，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，

同理可以证得，

∴，

∴，有，

解得或（舍去）.

∴点坐标为.

综上所述，点的坐标为，，

，.