题目内容

观察下列等式； $数学公式$ =1- $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ - $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ - $数学公式$ 将以上三个等式两边分别相加得； $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ =1- $数学公式$ +- $数学公式$ + $数学公式$ - $数学公式$ =1- $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）猜想并写出 $数学公式$ =______；
（2）计算 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ；
（3）计算 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ；
（4）计算 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ．

解：（1） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
（2）原式=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
（3）原式= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
（4）原式= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
分析：（1）由规律得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3）逆用规律，再计算；
（4）根据 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）计算即可．
点评：本题考查了利用规律解题，解决此题的关键是题目给出的规律： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．