Question

18．问题探究：
（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，点E、H分别在BC、AB上，若AE⊥DH于点O，求证AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）已知，如图3，在（2）问条件下，若BC=4，E为BC的中点，AF=$\frac{1}{4}$AD，求HG的长

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）过点F作FP⊥BC于点P，利用勾股定理得出EF的长，进而得出HG的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO，
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠DAH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）解：EF=GH．
理由：如图2，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，
所以EF=GH；

（3）解：如图3，

过点F作FP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是正方形，BC=4，
∴AD=BC=AB=FP=4，
∵E为BC的中点，AF=$\frac{1}{4}$AD，
∴BE=2，AF=1，
∴PE=2-1=1，
在Rt△FPE中，EF=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
由（2）得：HG=EF，
∴HG=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了四边形综合以及三角形的综合知识，用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．