Question

如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，

3

），B（-

1

2

，

3

2

），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，

3

3

），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上．
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线解析式，因点B在抛物线上面，代入求出抛物线解析式；
（2）△ABC沿AC折叠，要用到点的对称，得到B′的坐标然后验证是否在抛物线上；
（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据B、A坐标解出直线BA的解析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+

3

3

，（1分）
∵B（-

1

2

，

3

2

）在抛物线上，
∴把B（-

1

2

，

3

2

）代入y=ax²+

3

3

得a=

2

3

3

．（3分）
∴抛物线解析式为y=

2

3

3

x²+

3

3

．（5分）

（2）∵点B（-

1

2

，

3

2

），A（0，

3

），
∴CB=

( 1 2 +1)2+( 3 2 )2

=

3

，
∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA=

12+( 3 )2

=2
∴AB=

AC2-BC2

=1
∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四边形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=

3

，OC=1，
∴B'点的坐标为（1，

3

）．（9分）
∵当x=1时，代入y=

2

3

3

x²+

3

3

得y=

3

，
∴B'（1，

3

）在抛物线上．（10分）

（3）存在．（11分）
理由是：设BA的解析式为y=kx+b，
∴

- 1 2 k+b= 3 2 0+b= 3

∴

k= 3 b= 3

∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，
∴设P（m，

3

m+

3

），F（m，

2

3

3

m²+

3

3

）
PF=（

3

m+

3

）-（

2

3

3

m²+

3

3

），AD=

3

-

3

3

=

2

3

3

如果PF=AD，则有
=（

3

m+

3

）-（

2

3

3

m²+

3

3

）=

2

3

3

解得m₁=0（不符合题意舍去），m₂=

3

2

．
∴当m=

3

2

时，PF=AD，
存在四边形ADFP是平行四边形．（13分）
当m=

3

2

时，

3

m+

3

=

5 3

2

，
∴P点的坐标是（

3

2

，

5 3

2

）．（14分）

点评：考查待定系数求抛物线解析式，折叠图形的对称问题，辅助线的作法也很独特，考查的知识点很全面，是一道综合性题型．