Question

如图，已知：AB=

2

，BC=2，CD=1，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A、

  3+ 3

  3

• B、

  3+2 2

  4

• C、

  3 +2 2

  4

• D、

  3+ 3

  4

Answer 1

分析：如图，连接AC、OD，OD与AC交于点E．BC是直径，则∠BAC=90°，而∠ABC=45°，由此可以推出△ABC，△AOC是等腰直角三角形，AC=AB=

2

，而BC=2，∴AO=OD=OB=1，∵CD=1，由此推出△OCD是等边三角形，∠DOC=60°，∠AOD=30°，再根据S_{四边形ABCD}=S_△ABO+S_△ODC+S_△AOD即可取出面积．

解答：解：如图，连接AC、OD，OD与AC交于点E．BC是直径，
则∠BAC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABC，△AOC是等腰直角三角形，AC=AB=

2

，
∵BC=2，
∴AO=OD=OB=1．
∵CD=1，
∴△OCD是等边三角形，
∠DOC=60°，∠AOD=30°
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABO+S_△ODC+S_△AOD
=

1

2

OB•OA+

1

2

OC•ODsin60°+

1

2

OA•ODsin30°
=

1

2

+

3

4

+

1

4

=

3+ 3

4

．
故选D．

点评：本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式求解，综合性比较强．