Question

如图，凸四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE．给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=EC；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．将其中的三个关系式作为已知条件、另外两个关系式作为结论，可以构成一些命题（下面各小题的命题须符合此要求）．
（1）共计能够成______个命题；
（2）写出三个真命题：
①如果______、______、______，那么______、______；
②如果______、______、______，那么______、______；
③如果______、______、______，那么______、______．
请选择上述三个命题中的一个写出它是真命题的理由：
证明：我选择证明命题______（填序号），理由如下：
（3）请写出一个假命题（不必说明理由）：
如果______、______、______，那么______、______．

Answer 1

解：列表如下：

序号	条件			结论		命题真假
1	③∠1=∠2	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	①AD∥BC	②DE=EC	真
2	②DE=EC	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	①AD∥BC	③∠1=∠2	真
3	②DE=EC	③∠1=∠2	⑤AD+BC=AB	①AD∥BC	④∠3=∠4	真
4	②DE=EC	③∠1=∠2	④∠3=∠4	①AD∥BC	⑤AD+BC=AB	假
5	①AD∥BC	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	②DE=EC	③∠1=∠2	真
6	①AD∥BC	③∠1=∠2	⑤AD+BC=AB	②DE=EC	④∠3=∠4	真
7	①AD∥BC	③∠1=∠2	④∠3=∠4	②DE=EC	⑤AD+BC=AB	真
8	①AD∥BC	②DE=EC	⑤AD+BC=AB	③∠1=∠2	④∠3=∠4	真
9	①AD∥BC	②DE=EC	④∠3=∠4	③∠1=∠2	⑤AD+BC=AB	真
10	①AD∥BC	②DE=EC	③∠1=∠2	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	真

根据表格容易知道本题答案应为：
（1）10；

（2）表中9个真命题选1，
理由如下：如图，在AB上截取AF=AD，连接EF，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∠D=∠AFE，DE=EF，
∵AD+BC=AB，
∴BC=BF，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（SAS），
∴∠C=∠BFE，CE=EF，
∴DE=CE，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；

（3）假命题是：“如果DE=EC、∠1=∠2、∠3=∠4，那么AD∥BC、AD+BC=AB．”
分析：（1）按照顺序，选择第一个关系式作为结论，再选择一个关系式作为结论，其他关系式作为条件，依次写出并列出表格即可得到命题的个数；
（2）根据平行线的判定与性质确定命题的真假，证明第一个命题，在AB上截取AF=AD，连接EF，然后利用“边角边”证明△ADE和△AFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠AFE，全等三角形对应边相等可得DE=EF，再求出BF=BC，然后利用“边角边”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠BFE，全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据∠AFE+∠BFE=180°求出∠C+∠D=180°，再利用同旁内角互补，两直线平行证明；
（3）根据“边边角”不能证明三角形全等确定第四个命题是假命题．
点评：本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，确定命题时要按照一定的顺序，做到不重不漏．