题目内容

矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点，
（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax²+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A₁，点D的对应点为D₁．当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A₁、D₁两点距离之和OA₁+OD₁最短的一点，求此抛物线的解析式．

解：（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6），点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx，得：
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ；
故直线y= $\text{[math]}$ x+4与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）；，

（3）设抛物线现象平移了m个单位，则A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m）
∴D₁′（4，6-m），
令直线A₁D₁′为y=k′x+b′；
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵点O为使OA₁+OD₁最短的点，
∴b′=4-m=0
∴m=4，
即将抛物线向下平移了4个单位；
∴y+4=- $\text{[math]}$ x²-3x，即此时的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²-3x-4．
分析：（1）首先根据矩形的性质得到点B的坐标，然后得到点D的坐标，从而得到点D′的坐标，然后利用待定系数法求得a、b的值即可；
（2）求得直线AD′的解析式后求得直线与y轴的交点坐标即为点P的坐标；
（3）首先利用待定系数法求得直线A₁D₁′的解析式，根据点O为使OA₁+OD₁最短的点求得m的值，从而确定抛物线的解析式．
点评：此题考查了二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要认真审题．