Question

如图，已知二次函数y=-

1

6

x2+bx+c的图象经过点A（0，6），B（8，6），矩形OABC的顶点C在x轴上，动点P从点C出发沿折线C→B→A运动，到达点A时停止，设点P运动的路程为m（0＜m＜14）．
（1）求b，c的值；
（2）设直线OP在运动过程中扫过矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线过A、B两点，所以将A、B两点坐标代入解析式，可列方程组解出系数的值；
（2）由图可知，直线OP在运动过程中过矩形的面积S，
①当0＜m≤6时，图形为三角形；
②当6＜m＜14时，图形为梯形．

解答：解：（1）将A（0，6），B（8，6）两点代入解析式得：

c=6 - 1 6 ×64+8b+c=6

，
解得：b=

4

3

，c=6，
同时可得抛物线解析式为y=-

1

6

x²+

4

3

x+6；

（2）当①当0＜m≤6时，图形为三角形，S=

1

2

OC•CP=

1

2

×8m=4m，
②当6＜m＜14时，扫过的图形为梯形，
于是S=

1

2

（OC+PB）•BC=

1

2

（8+m-6）•6=6+3m，
所以S=

4m(0＜m≤6) 3m+6(6＜m＜14)

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，是函数与矩形的性质相结合的问题，难度较大．