Question

已知，直线AB∥CD
（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．
 

Answer 1

分析：（1）首先过点E作EF∥AB，易证得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，则可得∠ABE+∠CDE=∠BED．
（2）首先连接FE并延长，易得∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，又由BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，以及（1）的结论，易证得∠BED=2∠BFD；
（3）由∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，以及BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE与∠BFD=∠ABF+∠CDF，即可证得结论．

解答：解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，
∴∠BED=∠1+∠2=∠ABE+∠CDE；

（2）∠BED=2∠BFD．
证明：连接FE并延长，
∵∠BEG=∠BFE+∠EBF，∠DEG=∠DFE+∠EDF，
∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABE+∠CDE=2（∠EBF+∠EDF），
∵∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠EBF+∠EDF=

1

2

∠BED，
∴∠BED=∠BFD+

1

2

∠BED，
∴∠BED=2∠BFD；

（3）2∠BFD+∠BED=360°．
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABF=

1

2

∠ABE，∠ADF=

1

2

∠CDE，
∴∠ABF+∠ADF=

1

2

（∠ABE+∠CDE），
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF=

1

2

（∠ABE+∠CDE），
∴∠ABE+∠CDE=2∠BFD，
∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，
∴2∠BFD+∠BED=360°．

点评：此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．