Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），以下四个结论：①△PFA≌△PEB；②∠PFE=45°；③EF=AP；④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；始终正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由等腰直角三角形的性质，及角相互间的和差关系易得△PFA≌△PEB，依此得出∠PFE=45°，阴影部分的面积是△ABC的面积的一半．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点；
∴∠APB=90°，AP=CP=BP，∠B=∠C=∠CAP=45°；
∵∠FPE=90°；
∴∠FPA=∠BPE；
在△PFA与△PEB中，

∠B=∠FAP AP=BP ∠FPA=∠BPE

，
∴△PFA≌△PEB（ASA）．故①正确；
∴PE=PF；
∴∠PFE=45°．故②正确；
∴EF=

2

PE．
又AP=BP=

2

PE，
∴EF=AP．故③正确；
阴影部分的面积=△APC的面积=△ABC的面积的一半．故④正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选D．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，同时考查了全等三角形的判断和性质．