Question

已知抛物线y=2x²-3x+m（m为常数）与x轴交于A、B两点，且线段AB的长为

1

2

．
（1）求m的值；
（2）若该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积．

Answer 1

分析：（1）设抛物线与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，首先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=

m

2

，而AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-8m

2

，由此可以得到关于m的方程，解方程即可求出m；
（2）由（1）可以求出抛物线的解析式，然后利用抛物线顶点公式即可求出顶点坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ABP的面积．

解答：解：
（1）设抛物线与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，
∴关于x的方程2x²-3x+m=0，
△=（-3）²-8m=9-8m＞0得m＜

9

8

，
∵x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=

m

2

，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-8m

2

，
又∵AB=

1

2

，
∴

9-8m

2

=

1

2

，
∴m=1；
（2）∵m=1，
∴抛物线为y=2x²-3x+1，
其顶点P的纵坐标为y_P=

4ac-b2

4a

=-

1

8

，
∴S_△ABP=

1

2

•AB|yP|
=

1

2

×

1

2

×

1

8

=

1

32

．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点的情况与其判别式的关系、根与系数的关系及抛物线顶点坐标公式等，综合性比较强．