题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．
（1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ；
（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切．
；
或
【解析】（1）求出BC，AC的值，推出DE为三角形ABC的中位线，求出即可；
（2）求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，证△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．
【解析】
（1）∵∠C=90°，∠A=30°，
，
∴BC=
AB=
，AC=6，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴E为AB中点，
∴DE=BC=，
故答案为：；
（2）过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=，AB=
，AC=6，
∴由三角形面积公式得： BC•AC=AB•CH， CH=3，
分为两种情况：
①如图1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6﹣3=3，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
，
∴
=
，
DE=；
②如图2，
∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴=
，
DE=；
故答案为：或
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