如图.已知抛物线的对称轴是y轴.且点(2.2).在抛物线上.点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点.过P作PA⊥x轴于A.PC⊥y轴于C.延长PC交抛物线于E.设M是O关于抛物线顶点N的对称点.D是C点关于N的对称点．(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标,(2)求证:四边形PMDA是平行四边形,(3)求证:△DPE∽△PAM.并求出当它们的相似比为$\sqrt{3}$时的点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，$\frac{5}{4}$）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为$\sqrt{3}$时的点P的坐标．

分析（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点N的坐标；
（2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的长，由PA=DM可证得结论；
（3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四边形PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM，可证得结论，在Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为$\sqrt{3}$可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得P点坐标．

解答（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+c，
∵点（2，2），（1，$\frac{5}{4}$）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=2}\\{a+c=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴N点坐标为（0，1）；

（2）证明：设P（t，$\frac{1}{4}$t²+1），则C（0，$\frac{1}{4}$t²+1），PA=$\frac{1}{4}$t²+1，
∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），
∴M（0，2），
∵OC=$\frac{1}{4}$t²+1，ON=1，
∴DM=CN=$\frac{1}{4}$t²+1-1=$\frac{1}{4}$t²，
∴OD=$\frac{1}{4}$t²-1，
∴D（0，-$\frac{1}{4}$t²+1），
∴DM=2-（-$\frac{1}{4}$t²+1）=$\frac{1}{4}$t²+1=PA，且PM∥DM，
∴四边形PMDA为平行四边形；

（3）解：同（2）设P（t，$\frac{1}{4}$t²+1），则C（0，$\frac{1}{4}$t²+1），PA=$\frac{1}{4}$t²+1，PC=|t|，
∵M（0，2），
∴CM=$\frac{1}{4}$t²+1-2=$\frac{1}{4}$t²-1，
在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM=$\sqrt{P{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{4}{t}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{t}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$t²+1=PA，且四边形PMDA为平行四边形，
∴四边形PMDA为菱形，
∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，
∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，
∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，
∴∠PDE=∠APM，且$\frac{PD}{PA}$=$\frac{DE}{PM}$，
∴△DPE∽△PAM；
∵OA=|t|，OM=2，
∴AM=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，且PE=2PC=2|t|，
当相似比为$\sqrt{3}$时，则$\frac{PE}{AM}$=$\sqrt{3}$，即$\frac{2|t|}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$=$\sqrt{3}$，解得t=2$\sqrt{3}$或t=-2$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为（2$\sqrt{3}$，4）或（-2$\sqrt{3}$，4）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中注意抛物线解析式的设法，在（2）中用t表示出DM的长是解题的关键，在（3）中证得四边形PMDA为菱形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大