题目内容

某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角为45°减为30°（楼梯高度不变），已知原楼梯长为4m，那么调整的楼梯会增加多长楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根式表示）

解：根据题意可作图（见右图）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC= $\text{[math]}$ ．
在Rt△ACD中，
AC=AB•sin∠ABC
=4×sin45°
=4× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴sinD= $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ （或AD=2AC），
∴AD-AB=（4 $\text{[math]}$ -4）m．
又∵tanD= $\text{[math]}$ ，
∴DC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ m．
∴DC-BC=（2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）m．
答：调整后楼梯会增加（4 $\text{[math]}$ -4）m，多占地面长为（2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）m．
分析：在原三角形ABC中，因为∠ABC=∠ACB=45°，且AB=4，则有BC=AC=AB•sin45°=2 $\text{[math]}$ 米．在新三角形ADC中，因为∠D=30°，AC=2 $\text{[math]}$ ，所以DC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，AD= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，即楼梯增长了（4 $\text{[math]}$ -4）米，多占地面长度即为可求．
点评：本题考查了直角三角形的有关知识，关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中解决问题．