Question

某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角为45°减为30°（楼梯高度不变），已知原楼梯长为4m，那么调整的楼梯会增加多长楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根式表示）

Answer 1

【答案】分析：在原三角形ABC中，因为∠ABC=∠ACB=45°，且AB=4，则有BC=AC=AB•sin45°=2米．在新三角形ADC中，因为∠D=30°，AC=2，所以DC==2，AD==4，即楼梯增长了（4-4）米，多占地面长度即为可求．
解答：解：根据题意可作图（见右图）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC=．
在Rt△ACD中，
AC=AB•sin∠ABC
=4×sin45°
=4×
=．
∴sinD=，
∴AD===4（或AD=2AC），
∴AD-AB=（4-4）m．
又∵tanD=，
∴DC==2•=2m．
∴DC-BC=（2-2）m．
答：调整后楼梯会增加（4-4）m，多占地面长为（2-2）m．
点评：本题考查了直角三角形的有关知识，关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中解决问题．