Question

某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角为45°减为30°（楼梯高度不变），已知原楼梯长为4m，那么调整的楼梯会增加多长楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根式表示）

Answer 1

分析：在原三角形ABC中，因为∠ABC=∠ACB=45°，且AB=4，则有BC=AC=AB•sin45°=2

2

米．在新三角形ADC中，因为∠D=30°，AC=2

2

，所以DC=

AC

tan30°

=2

6

，AD=

AC

sin30°

=4

2

，即楼梯增长了（4

2

-4）米，多占地面长度即为可求．

解答：解：根据题意可作图（见右图）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC=

AC

AB

．
在Rt△ACD中，
AC=AB•sin∠ABC
=4×sin45°
=4×

2

2

=2

2

．
∴sinD=

AC

AD

，
∴AD=

AC

sinD

=

2 2

sin30°

=4

2

（或AD=2AC），
∴AD-AB=（4

2

-4）m．
又∵tanD=

AC

DC

，
∴DC=

AC

tanD

=2

2

•

3

=2

6

m．
∴DC-BC=（2

6

-2

2

）m．
答：调整后楼梯会增加（4

2

-4）m，多占地面长为（2

6

-2

2

）m．

点评：本题考查了直角三角形的有关知识，关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中解决问题．