Question

如图．直线AB分别交y轴，x轴于A，B两点，已知A（0，2

3

），B（2，0），以P（-

1

2

，0）为圆心的圆与直线AB相切于点E．
（1）求⊙P的半径长．
（2）若Rt△ABO被直线y=kx-2k分成两部分，设靠近原点那一部分面积为S，求出S与自变量k的函数关系式．
（3）若直线y=kx-2k把Rt△ABO分成两部分的面积比为1：2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）连接PE，由相似三角形的判定定理得出△AOB∽△PEB，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出PE的长；
（2））在y=kx-2k中，令y=0，则x=2，故可得出直线y=kx-2k经过点（2，0），设直线y=kx-2k与y轴交于点C，则C（0，-2k），由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）当点C是OA的一个三等分点时，根据直线y=kx-2k把Rt△ABO分成两部分的面积比为1：2，可知S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）连接PE，
∵AB切⊙P于点E，
∴PE⊥AB，
∴∠AOB=∠PEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△AOB∽△PEB，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，
∵OA=2

3

，PB=2+

1

2

=2

1

2

，AB=

22+(2 3 )2

=4，
∴

PE

2 3

=

2 1 2

4

，解得PE=

5 3

4

；

（2）∵在y=kx-2k中，令y=0，则x=2，
∴直线y=kx-2k经过点（2，0），
设直线y=kx-2k与y轴交于点C，则C（0，-2k），
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=

1

2

×2×（-2k）=-2k，此时0＜-2k＜2

3

，
∴-

3

＜k＜0，
∴S=-2k（-

3

＜k＜0）；

（3）当点C是OA的一个三等分点时，
∵直线y=kx-2k把Rt△ABO分成两部分的面积比为1：2，
∴S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
当S_△COB：S_△ABC=1：2时，
S_△COB=

1

3

S_△ABO=

1

3

×

1

2

×2×2

3

=

2

3

3

，
∴-2k=

2 3

3

，解得k=-

3

3

；
当S_△ABO：S_△COB=1：2时，S_△COB=

2

3

S_△AOB=

2

3

×

1

2

×2×2

3

=

4

3

3

，
∴-2k=

4

3

3

，解得k=-

2 3

3

，
综上所述，k=-

3

3

或k=-

2 3

3

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，难度适中．