题目内容

如图．直线AB分别交y轴，x轴于A，B两点，已知A（0，2 $数学公式$ ），B（2，0），以P（- $数学公式$ ，0）为圆心的圆与直线AB相切于点E．
（1）求⊙P的半径长．
（2）若Rt△ABO被直线y=kx-2k分成两部分，设靠近原点那一部分面积为S，求出S与自变量k的函数关系式．
（3）若直线y=kx-2k把Rt△ABO分成两部分的面积比为1：2，求k的值．

解：（1）连接PE，
∵AB切⊙P于点E，
∴PE⊥AB，
∴∠AOB=∠PEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△AOB∽△PEB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵OA=2 $\text{[math]}$ ，PB=2+ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ =4，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得PE= $\text{[math]}$ ；

（2）∵在y=kx-2k中，令y=0，则x=2，
∴直线y=kx-2k经过点（2，0），
设直线y=kx-2k与y轴交于点C，则C（0，-2k），
∴S_△BOC= $\text{[math]}$ OB•OC= $\text{[math]}$ ×2×（-2k）=-2k，此时0＜-2k＜2 $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜k＜0，
∴S=-2k（- $\text{[math]}$ ＜k＜0）；

（3）当点C是OA的一个三等分点时，
∵直线y=kx-2k把Rt△ABO分成两部分的面积比为1：2，
∴S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
当S_△COB：S_△ABC=1：2时，
S_△COB= $\text{[math]}$ S_△ABO= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴-2k= $\text{[math]}$ ，解得k=- $\text{[math]}$ ；
当S_△ABO：S_△COB=1：2时，S_△COB= $\text{[math]}$ S_△AOB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴-2k= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，解得k=- $\text{[math]}$ ，
综上所述，k=- $\text{[math]}$ 或k=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接PE，由相似三角形的判定定理得出△AOB∽△PEB，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出PE的长；
（2））在y=kx-2k中，令y=0，则x=2，故可得出直线y=kx-2k经过点（2，0），设直线y=kx-2k与y轴交于点C，则C（0，-2k），由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）当点C是OA的一个三等分点时，根据直线y=kx-2k把Rt△ABO分成两部分的面积比为1：2，可知S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
再由三角形的面积公式即可得出结论．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，难度适中．