Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A，与x轴交于点B（3，0）、C（﹣1，0）两点．

（1）求直线AB和抛物线的表达式；

（2）当点F为直线AB上方抛物线上一动点（不与A、B重合），过点F作FP//x轴交直线AB于点P；过点F作FR//y轴交直线AB于点R，求PR的最大值；

（3）把射线BA绕着点B逆时针旋转90°得到射线BM，点E在射线BM运动（不与点B重合），以BC、BE为邻边作平行四边形BCDE，点H为DE边上动点，连接CH，请直接写出CH+HE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y＝﹣x+3；（2）PR有最大值为；（3）最小值为2．

【解析】

（1）将点B，C坐标代入抛物线解析式中，即可求出a，c，进而求出点A的坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式；

（2）先判断出∠OBA＝∠OAB＝45°，进而判断出∠FPR＝∠FRP＝45°，得出∠PFR＝90°，PF＝FR，进而得出PR＝FR，再设点R（t，﹣t+3），得出点F（t，﹣t2+2t+3），进而得出PR＝FR＝﹣（t﹣）2+，即可得出结论；

（3）过点C作CG⊥BM于G，交DE于点H，先判断出∠DEG＝∠CBE＝45°，进而判断出HG＝HE，根据垂线段最短和锐角三角函数即可得出结论．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点B（3，0）、C（﹣1，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

令x＝0，则y＝3，

∴A（0，3），

∴设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵直线AB经过点A（0，3）、B（3，0），

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；

（2）∵A（0，3），B（3，0），

∴OA＝OB＝3，

∵∠AOB＝90°，

∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵FP//x轴，FR//y轴，

∴∠FPR＝∠OBA＝45°，∠FRP＝∠OAB＝45°，

∴∠FPR＝∠FRP＝45°，

∴∠PFR＝90°，PF＝FR，

根据勾股定理得，PR＝FR，

∵点R在直线AB上，

∴设点R（t，﹣t+3），

∵FR//y轴，

∴点F的横坐标为t，

∵点F在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，

∴点F（t，﹣t2+2t+3），

∴PR＝FR＝ [（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）]＝﹣（t﹣）2+，

∵a＝﹣＜0，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，

当t＝时，PR有最大值，PR的最大值为；

（3）如图，过点C作CG⊥BM于G，交DE于点H，

∵把射线BA绕着点B逆时针旋转90°得到射线BM，

∴∠ABM＝90°，

∵∠OBA＝45°，

∴∠CBE＝∠ABM﹣∠OBA＝45°，

∵DE//CB，

∴∠DEG＝∠CBE＝45°，

在Rt△HGE中，HG＝HEsin45°＝HE，

根据垂线段最短得，（CH+HE）最小＝CG，

∴CH+HE＝CG＝CBsin45°＝2，

即CH+HE的最小值为2．