题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC，过点B作x轴的垂线交直线AC于点D，设点B坐标是（t，0）。
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）当t=4时，B（4，0）
设直线AB的解析式为y= kx+b
把 A（0，6），B（4，0） 代入得：
解得：
∴直线AB的解析式为y=-
x+6.
（2）过点C作CE⊥x轴于点E
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
得△AOB∽△BEC
∴
∴
∴点C的坐标为（t+3，
）
S梯形AOEC=
S△AOB=
S△BEC=
∴S△ABC= S梯形AOEC- S△AOB-S△BEC
。
（3）存在，理由如下：
①当t≥0时
i）若AD=BD
又∵BD∥y轴
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB
∴
∴
∴t=3，即B（3，0）。
ii）若AB=AD
延长AB与CE交于点G
又∵BD∥CG
∴AG=AC
过点A作AH⊥CG于H
∴
由△AOB∽△GEB
得
∴
又∵HE=AO=6，
∴
∴
解得：
因为 t≥0
∴
即
；
iii）由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，
故BD≠AB
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况。
②当-3≤t＜0时，∠DAB是钝角
设AD=AB，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F
可求得点C的坐标为
∴
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴
∴
∴
解得
因为-3≤t＜0
所以
即
。
③当t＜-3时，∠ABD是钝角
设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为
∴
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC
∴
解得：t=-8，即B（-8，0）
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：
。
设直线AB的解析式为y= kx+b
把 A（0，6），B（4，0） 代入得：
解得：
∴直线AB的解析式为y=-
x+6.（2）过点C作CE⊥x轴于点E
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
得△AOB∽△BEC
∴
∴
∴点C的坐标为（t+3，
）S梯形AOEC=
S△AOB=
S△BEC=
∴S△ABC= S梯形AOEC- S△AOB-S△BEC
。（3）存在，理由如下：
①当t≥0时
i）若AD=BD
又∵BD∥y轴
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB
∴
∴
∴t=3，即B（3，0）。
ii）若AB=AD
延长AB与CE交于点G
又∵BD∥CG
∴AG=AC
过点A作AH⊥CG于H
∴
由△AOB∽△GEB
得
∴
又∵HE=AO=6，
∴
∴
解得：
因为 t≥0
∴
即
；iii）由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，
故BD≠AB
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况。
②当-3≤t＜0时，∠DAB是钝角
设AD=AB，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F
可求得点C的坐标为
∴
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴
∴
∴
解得
因为-3≤t＜0
所以
即
。③当t＜-3时，∠ABD是钝角
设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为
∴
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC
∴
解得：t=-8，即B（-8，0）
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：
。
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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