Question

19．已知一次函数的函数经过A（2，8），B（0，4）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABC是等腰三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质结合两直线互相垂直的性质得出符合题意的答案．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=8}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故一次函数的表达式为：y=2x+4；

（2）如图所示：当AB=BP时，△ABC是等腰三角形，
则P（2，0）；
当直线EF垂直平分AB时，
设直线EF的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+c，
由A（2，8），B（0，4）
可得AB的中点坐标为：（1，6），
把（1，6）代入y=-$\frac{1}{2}$x+c，
则6=-$\frac{1}{2}$+c，
解得：c=6$\frac{1}{2}$，
故直线EF的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+6$\frac{1}{2}$，
当y=0，解得：x=13，
则P点坐标为：（13，0），此时PA=PB，
综上所述：P（1，0），（13，0），使得△ABC是等腰三角形．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及等腰三角形的性质，正确掌握直线互相垂直的性质是解题关键．