Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．
（1）直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）若AC=

3

，⊙O的半径为1，求CD的长及由弧BC、线段BD、CD所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，然后证明OC∥AE，即可证得OC⊥DE，则DE是圆的切线；
（2）利用扇形的面积公式求得扇形OCD的面积，然后利用△OCD的面积减去扇形OCD的面积即可求解．

解答：解：（1）直线DE与⊙O相切．连结OC，
∵OA=OC
∴∠CAO=∠OCA，
又∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC=∠OAO，
∴∠ECO=∠OCA，
∴AE∥OC，
∴OC⊥DC，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）∵∠CAB=30°，
∴CD=

3

，
则S_△OCD=

1

2

•OC•CD=

3

2

，
S_扇形OCB=

60π

360

=

π

6

，
则阴影部分的面积为

3

2

-

π

6

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．