题目内容

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点 $数学公式$ ，直线l经过点C，
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数 $数学公式$ 的图形上，求直线l所表达的函数关系式．

解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2， $\text{[math]}$ ），
设直线l解析式为y=kx+ $\text{[math]}$ ，
将E（2， $\text{[math]}$ ），代入2k+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得k=- $\text{[math]}$ ，
∴直线l解析式为 $\text{[math]}$

（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时，
设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，
当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），
将F（2，1）代入直线l解析式为y=kx+ $\text{[math]}$ 中，
得k=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴y=（- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）x+ $\text{[math]}$ ；
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数 $\text{[math]}$ 的图形有一个交点，
此时，直线l解析式为 $\text{[math]}$ ，
②当直线l与x轴不平行时，
设直线l解析式为y=kx+ $\text{[math]}$ ，
联立 $\text{[math]}$ ，
得kx²+ $\text{[math]}$ x-2=0，
当△=0时，两函数图象只有一个交点，即（ $\text{[math]}$ ）²+8k=0，
解得k=- $\text{[math]}$ ，
此时，直线l解析式为 $\text{[math]}$ 等（写出一个正确答案即可）
分析：（1）若△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质可求E点坐标，用“两点法”求直线l解析式；
（2）分别过A、B两点作x轴的垂线，与直线l相交，可得两个直角三角形，若直线l上有一点F（2，1），可得△ABF为等腰直角三角形，用“两点法”求直线l解析式；
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数 $\text{[math]}$ 的图形有一个交点，②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为y=kx+ $\text{[math]}$ ，与函数 $\text{[math]}$ 联立解方程组，得出唯一解时k的值即可．
点评：本题考查了一次函数的综合运用，反比例函数与一次函数的交点问题，特殊三角形的性质．关键是采用形数结合的方法，确定直线l上点的坐标，求一次函数解析式．