Question

如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0），

1.求抛物线C₁的解析式；

2.如图1，将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y=x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P，求△DBP的面积

3.如图2，连接AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC·（AC+EC）为定值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：∵抛物线顶点为P（1，0），经过点（0，1）

∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入，得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；                        3分

2.解：根据题意，平移后顶点坐标P（2，-1）

∴抛物线的解析式为：y=（x-2）²-1，

∴A（0，-1），B（4，3），∴S_△DBP=3；

3.证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，

设点Q的坐标是（t，t²-4t+3），则QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．

∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，

∴QM ：EC =PM ：PC ，即(t-2) ² ：EC =t-1 ：2 ，

得EC=2（t-2），

∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，

∴QN ：FC =BN ：BC ，

即4-t ：FC =3-(t ² -4t+3) ：4 ，

得FC=4 ：t ，又∵AC=4，

∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，

即FC（AC+EC）为定值8．                           9分

【解析】（1）根据抛物线的顶点坐标可设解析式为y=a（x-1）²，把点的坐标代入可得a的值，即可知抛物线解析式；

（2）根据平移规律得出平移后的解析式，再求面积；

利用三角形的相似比得出FC（AC+EC）为定值8。