如图.抛物线c1:y=ax2-2ax-c与x轴交于A.B.且AB=6.与y轴交于C．(1)求抛物线c1的解析式,(2)问抛物线c1上是否存在P.Q两点.使得以A.C.P.Q为顶点的四边形为直角梯形.若存在.求P.Q两点坐标,若不存在.请说明理由,(3)抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称.直线x=m分别交c1.c2于D.E两点.直线x=n分别交c1.c2于M.N两点.若四边形DMNE为平行四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，抛物线c₁：y=ax²-2ax-c与x轴交于A、B，且AB=6，与y轴交于C（0，-4 ）．
（1）求抛物线c₁的解析式；
（2）问抛物线c₁上是否存在P、Q（点P在点Q的上方）两点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求P、Q两点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线c₂与抛物线c₁关于x轴对称，直线x=m分别交c₁、c₂于D、E两点，直线x=n分别交c₁、c₂于M、N两点，若四边形DMNE为平行四边形，试判断m和n间的数量关系，并说明理由．

分析：（1）把C（0，-4）代入抛物线的解析式求出c=4，得到y=ax²-2ax-4，根据AB=6，利用求根公式即可求出a的值，代入即可；
（2）有两种情况：①当∠PAC=∠ACQ=90°时，连接AQ，设Q（x，

x²-x-4），由勾股定理得出AQ²=AC²+CQ²，代入求出x的值，求出

x²-x-4=-

，得到Q的坐标，同法可求P的坐标；②当∠ACQ=∠PQC=90°时，与①解法类似可求出Q的坐标和P的坐标，即可得出答案；
（3）m和n间的数量关系是m+n=0，且m≠0，n≠0．根据抛物线c₂与抛物线c₁关于x轴对称，得出两抛物线的形状相同，开口方向相反，且都关于x轴对称，根据平行四边形的形状得到DE∥MN，ED=MN，DE与 MN关于直线x=1对称，即可得到答案．

解答：（1）解：把C（0．-4）代入抛物线的解析式得：c=4，
∴y=ax²-2ax-4，
∵AB=6，
∴|

2a+

(-2a)2-4a•(-4)

2a-

(-2a)2-4a•(-4)

|=6，
解得：a=0（舍去），a=

，
∴y=

x2-x-4，
答：抛物线c₁的解析式是y=

x²-x-4．

（2）解：∵当y=

x²-x-4=0，x=4或-2，
∴OA=2，OB=4，
有两种情况：①当∠PAC=∠ACQ=90°时如图（1），连接AQ，设Q（x，

x²-x-4），
由勾股定理得：AQ²=AC²+CQ²，
代入得：（x+2）²+(

x2-x-4) 2=2²+4²+x²+(

x2-x-4+4) 2，
解得：x=0（舍去），x=3，
当x=3 时，

x²-x-4=-

，
∴Q（3，

），

同法可求P的坐标是（5，

）；
②当∠ACQ=∠PQC=90°时如图（2），与①解法类似可求出Q的坐标是（3，-

），P的坐标是（-5，

）；
答：存在，P、Q的坐标分别为（5，

），（3，-

）或（-5，

），（3，-

）．

（3）答：m和n间的数量关系是m+n=0，且m≠0，n≠0．
理由是：∵抛物线c₂与抛物线c₁关于x轴对称，
∴两抛物线的形状相同，开口方向相反，且都关于x轴对称，
∵直线x=m分别交c₁、c₂于D、E两点，直线x=n分别交c₁、c₂于M、N两点，四边形DMNE为平行四边形，
∴直线m n垂直于x轴（m∥n），DE=MN，DE与 MN关于直线x=1对称，
∴m+n=2，m≠0，n≠0．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质，坐标与图形变换-对称，勾股定理，解一元二次方程-公式法，直角梯形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．