Question

（2011•自贡）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点0，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）求四边形DEFC的周长．

Answer 1

分析：（1）根据已知和平行线的性质得出∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，推出OA=OB，OC=OD，求出AC=BD，根据SAS证三角形全等即可；
（2）过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，得出平行四边形DCGB，推出等腰直角三角形ACG，求出AG长，求出CF即可．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，
∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，
在△ACB与△BDA中，

AB=AB ∠CAB=∠DBA AC=BD

，
∴△ACB≌△BDA．

（2）解：过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，
∵DC∥AG．CG∥BD，
∴四边形DBGC为平行四边形，
∵△ACB≌△BDA，
∴AD=BC，
即梯形ABCD为等腰梯形，
∵AC=BD=CG，
∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG，
∴∠ACG=90°，AC=BD，CF⊥FG，
∴AF=FG，
∴CF=

1

2

AG，又AG=AB+BG=m+n，
∴CF=

1

2

(m+n)．
又∵四边形DEFC为矩形，故其周长为：
2（DC+CF）=2(m+

m+n

2

)=3m+n．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识点的运用，通过做此题培养了学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．