Question

（2011•自贡）如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A₁BC₁．A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC，BC于点D，F．
（1）试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（2）求ED的长．

Answer 1

分析：（1）先根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出∠A₁=∠A=30°，再根据旋转角为30°得到∠ABA₁=30°，从而得到∠A₁=∠ABA₁，然后根据内错角相等，两直线平行可得A₁C₁∥AB，同理AC∥BC₁，最后根据平行四边形的定义以及菱形的定义即可证明；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，根据等腰三角形三线合一的性质可得AG=

1

2

AB=

1

2

，再利用锐角三角形函数求出AE的长度，然后根据ED=AD-AE代入数据进行计算即可求解．

解答：解：（1）四边形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=

1

2

（180°-120°）=30°，
由题意可知∠A₁=∠A=30°，
∵旋转角为30°
∴∠ABA₁=30，
∴∠A₁=∠ABA₁，
∴A₁C₁∥AB，
同理AC∥BC₁，
∴四边形BC₁DA是平行四边形，
∵AB=BC₁，
∴四边形BC₁DA是菱形；

（2）过点E作EG⊥AB于点G，
∵∠A=∠ABE=30°，AB=1，
∴AG=GB=

1

2

，
∵cos∠A=

AG

AE

，AE=

AG

cosA

=

1 2

cos30°

=

3

3

，
∴ED=AD-AE=1-

3

3

．

点评：本题考查了旋转变换的性质，等角对等边的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质以及锐角三角形函数值，经过角度的计算得到相等的角是解题的关键．