题目内容
(2011•自贡)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的⊙B经过坐标原点0,且与x轴、y轴分别交于A,C两点,过O作⊙B的切线与AC的延长线交于点D.已知点A的坐标为(
,0).
(1)求sin∠CAO的值;
(2)若反比例函数的图象经过点D,求该反比例函数的解析式.
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(1)求sin∠CAO的值;
(2)若反比例函数的图象经过点D,求该反比例函数的解析式.
分析:(1)由A的坐标及A的位置,得到OA的长,再由AC为圆的直径,根据半径的长得出AC的长,在直角三角形OAC中,根据勾股定理求出OC的长,进而根据∠CAO的对边OC及斜边AC的长,利用锐角三角形函数定义即可求出sin∠CAO的值;
(2)连接OB,由OD为圆B的切线,根据切线的性质得到OB与OD垂直,即∠BOD为直角,又OA=OB,根据等边对等角可得一对角相等,再由∠CBO为三角形AOB的外角,根据外角性质可得出∠CBO的度数,进而在直角三角形BOD中求出∠ODB的度数,可得出∠ODB=∠OAD,根据等角对等边可得OA=OD,由OA的长得出OD的长,然后过D作DE垂直于x轴,由∠DOE为三角形AOD的外角,得出∠DOE的度数,根据斜边OD的长,利用正弦及余弦函数定义求出DE与OE的长,进而确定出点D的坐标,设过D的反比例函数解析式为y=
,把D坐标代入确定出k的值,即可确定出反比例的解析式.
(2)连接OB,由OD为圆B的切线,根据切线的性质得到OB与OD垂直,即∠BOD为直角,又OA=OB,根据等边对等角可得一对角相等,再由∠CBO为三角形AOB的外角,根据外角性质可得出∠CBO的度数,进而在直角三角形BOD中求出∠ODB的度数,可得出∠ODB=∠OAD,根据等角对等边可得OA=OD,由OA的长得出OD的长,然后过D作DE垂直于x轴,由∠DOE为三角形AOD的外角,得出∠DOE的度数,根据斜边OD的长,利用正弦及余弦函数定义求出DE与OE的长,进而确定出点D的坐标,设过D的反比例函数解析式为y=
k |
x |
解答:解:(1)由A(
,0)得,OA=
,
在Rt△AOC中,由AC=2,OA=
,
根据勾股定理得:OC=
=1,
则在Rt△AOC中,sin∠CAO=
=
;
(2)连接0B,过D作DE⊥x轴于点E,
∵OD切⊙B于0,∴0B⊥OD,
∵在Rt△AOC中,sin∠CAO=
,
∵BA=OB,
∴∠CAO=∠BOA=30°,
∴∠DBO=∠CAO+∠BOA=2∠BOA=60°,又∠BOD=90°,
∴∠ODB=30°,即∠ODA=∠OAD,
∴OD=OA=
,
∵∠DOE=60°,DO=
,
∴OE=
0D=
,DE=OD•sin60°=
,
∴点D坐标为(-
,
),
设反比例函数解析式为y=
,由其图象过点D,
∴
=
,即k=-
,
则该反比例函数解析式为y=
,即y=-
.
3 |
3 |
在Rt△AOC中,由AC=2,OA=
3 |
根据勾股定理得:OC=
AC2-AO2 |
则在Rt△AOC中,sin∠CAO=
OC |
AC |
1 |
2 |
(2)连接0B,过D作DE⊥x轴于点E,
∵OD切⊙B于0,∴0B⊥OD,
∵在Rt△AOC中,sin∠CAO=
1 |
2 |
∵BA=OB,
∴∠CAO=∠BOA=30°,
∴∠DBO=∠CAO+∠BOA=2∠BOA=60°,又∠BOD=90°,
∴∠ODB=30°,即∠ODA=∠OAD,
∴OD=OA=
3 |
∵∠DOE=60°,DO=
3 |
∴OE=
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
∴点D坐标为(-
| ||
2 |
3 |
2 |
设反比例函数解析式为y=
k |
x |
∴
3 |
2 |
k | ||||
-
|
3
| ||
4 |
则该反比例函数解析式为y=
-
| ||||
x |
3
| ||
4x |
点评:此题考查了切线的性质,三角形外角的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,以及利用待定系数法求反比例函数的解析式,已知切线,常常连接圆心与切点,由切线性质得垂直,利用直角三角形的性质来解决问题.
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