Question

如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是

 

．

Answer 1

分析：OA与⊙O相切时，有两种情况：①切线在OB右侧；②切线在OB左侧；解法相同，都是连接圆心与切点，通过构建的直角三角形求解．

解答：解：如图；
①当OA旋转到OE位置时，与圆M相切于点E，连接ME；
则ME=2，∠MEO=90°；
Rt△OEM中，sin∠MOE=

ME

OM

=

1

2

，
∴∠MOE=30°，
∴∠AOE=∠AOB-∠MOE=30°；
②当OA旋转到OF位置时，与圆M相切于点F，连接MF；
则MF=2，∠MFO=90°；
Rt△OFM中，sin∠MOF=

MF

OM

=

1

2

，
∴∠MOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°；
故OA旋转的角度为30°或90°．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．需注意的是本题中，切线的位置有两种可能，要分类讨论，不要漏解．