Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M是BC的中点．

（1）在AM上求作一点E，使△ADE∽△MAB（尺规作图，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；见解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）根据题意作出图形即可；

（2）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AMB，

又∵∠DEA＝∠B＝90°，

∴△DAE∽△AMB，

∴DE：AD＝AB：AM，

∵M是边BC的中点，BC＝6，

∴BM＝3，

又∵AB＝4，∠B＝90°，

∴AM＝5，

∴DE：6＝4：5，

∴DE＝，

∴AE＝＝＝．