Question

在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：

①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面

积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°．

又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

∴四边形OKPA是矩形．

又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形．

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．

过点P作PG⊥BC于G．

∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，

∠PBG=60°，PB=PA=x， PG=．

sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）． 

∴PG=，PA=BC=2．

易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2， BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．

设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c．

据题意得：

解之得：，，．

∴二次函数关系式为： ．

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：

解之得：u=，v．

∴直线BP的解析式为：．

过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：

．

解方程组：

得：_； ．

过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：

． 

∴0=．      ∴．

∴直线CM的解析式为：  ．

解方程组：得：；．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），

（7，），（3，0），（4，）．

解法二：∵， 

∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．

延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，

PM=PA．

又∵AM∥BC，∴．

∴点M的纵坐标为．

又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．

∴点M（4，）符合要求．

点（7，）的求法同解法一．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，），（7，），（3，0），（4，）．