Question

（2012•北京二模）已知：如图，在直角坐标系xOy中，点A（8，0）、B（0，6），点C在x轴的负半轴上，AB=AC．动点M在x轴上从点C向点A移动，动点N在线段AB上从点A向点B移动，点M、N同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位，移动时间为t秒（0＜t＜10）．
（1）设△AMN的面积为y，求y关于t的函数关系解析式；
（2）求四边形MNBC的面积最小是多少？
（3）求时间t为何值时，△AMN是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）过N作NF⊥AC于F，求出OA=8，OB=6，AB=10，AC=10，根据sin∠BAC=

OB

AB

=

NF

AN

求出NF=

3

5

t，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据y=-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，求出△AMN的面积的最大值，根据三角形ABC的面积即可求出答案；
（3）AN=t，CM=t，AM=10-t，分为三种情况：①当AM=AN时，10-t=t，②当AM=MN时，作ME⊥AB于E，求出AE=

4

5

（10-t），且AE=

1

2

AN，得出方程

4

5

（10-t）=

1

2

t，求出方程的解即可；③当AN=MN时，过N作NF⊥AC于F，cos∠BAC=

AF

AN

=

AO

AB

求出AF=

4

5

t，且AM=2AF，得出方程10-t=

8

5

t，求出方程的解即可．

解答：解：（1）如图1，过N作NF⊥AC于F，
∵A（8，0）、B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得：AB=10，
∵AB=AC，
∴AC=10，
sin∠BAC=

OB

AB

=

NF

AN

，
∴

6

10

=

NF

t

，
∴NF=

3

5

t，
∴y=

1

2

×AM×NF=

1

2

•（10-t）•

3

5

t，
y=-

3

10

t²+3t；

（2）∵y=-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
∴△AMN的面积的最大值是

15

2

平方单位，
∴四边形MNBC的面积的最小值是S_△ABC-

15

2

=

1

2

×10×6-

15

2

=

45

2

平方单位；

（3）根据已知得：AN=t，CM=t，AM=10-t，
分为三种情况：①当AM=AN时，10-t=t，
t=5；
②当AM=MN时，如图2，
作ME⊥AB于E，
cos∠BAC=

AE

AM

=

AO

AB

，
∴

AE

10-t

=

8

10

，
AE=

4

5

（10-t），且AE=

1

2

AN，
∴

4

5

（10-t）=

1

2

t，
t=

80

13

；

③当AN=MN时，如图3，
过N作NF⊥AC于F，
cos∠BAC=

AF

AN

=

AO

AB

，
∴

AF

t

=

8

10

，
∴AF=

4

5

t，且AM=2AF，
∴10-t=

8

5

t，
t=

50

13

，
即时间t为5秒或

80

13

秒或

50

13

秒时，△AMN是等腰三角形．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形面积，二次函数的最值，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质尽计算的能力，用了分类讨论思想．