Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，动点P从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度向终点D匀速运动，当两个点中有一个到达终点后，另一个点也随之停止．连接PQ，设点P的运动时间为x（s），PQ²=y（cm²）．
（1）当点Q在边CD上，且PQ=3时，求x的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）直接写出y随x增大而增大时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件可知四边形PBCQ是矩形，推出PB=CQ，列出方程即可解决问题．
（2）分两种情形①如图②中，当0≤x≤3时，②如图③中，当3＜x≤4时，过点Q作QE⊥AB于点E，分别利用勾股定理即可解决问题．
（3）把（2）中的二次函数，利用配方法，求出对称轴，即可判断．

解答 解：（1）如图①中，

当点Q在边CD上时，且PQ=AD=3，则PQ∥BC，四边形PBCQ是矩形，
∴PB=CQ，
∴4-x=x-3，
∴x=3.5．

（2）如图②中，
当0≤x≤3时，y=（4-x）²+x²=2x²-8x+16．
如图③中，当3＜x≤4时，过点Q作QE⊥AB于点E，则QE=3，
y=（7-2x）²+3²=4x²-28x+58．


（3）∵当0≤x≤3时，y=2x²-8x+16=2（x-2）²+8．
当3＜x≤4时，y=4x²-28x+58=4（x-$\frac{7}{2}$）²+9．
∴当2≤x≤3或$\frac{7}{2}$$≤\\;x$x≤4时，y随x增大而增大．

点评 本题考查二次函数综合题、勾股定理．二次函数的增减性等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，灵活应用配方法确定对称轴位置，利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．