Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$有交点A、B，已知点B（-2，-2），tan∠AOX=4．
（1）求k的值以及抛物线的解析式；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）．
（3）点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，△ABP的面积S_△ABP恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围0＜m＜3或m=$\frac{27}{8}$（P与B重合时规定S_△ABP=0）．

Answer 1

分析 （1）根据B点坐标可以确定K，根据tan∠AOx=4，求出A点坐标，再由A，B两点坐标，用待定系数法确定a，b．
（2）根据△EOC∽△AOB得到：∠COE₁=∠AOB，根据CO=2OB，∠BOC=90°得到∠AOE₁=90°，OE₁=2OA，可以求出E₁的坐标，再根据对称性求出E₂点的坐标．
（3）首先画出满足条件的点P所在的位置，再确定m的范围．

解答 解：（1）∵B（-2，-2）在双曲线上，
∴k=-2×（-2）=4，
∵tan∠AOx=4，
∴可设A（m，4m），
∵A在双曲线上
∴m-4m=4，
∴m=1，m=-1（舍去），
∴A（1，4），
∵抛物线过点A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-2）^{2}+b•（-2）=-2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$
解得a=1，b=3，
∴k=4，y=x²+3x．
（2）如图，设抛物线与x轴负半轴的交点为D．
由（1）知，抛物线的解析式是y=x²+3x，
∵AC∥x轴
∴C（-4，4），OC=4$\sqrt{2}$．
又∵OB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OC}{OB}$=2．
∵∠COD=∠BOD=45°，
∴∠COB=90，
要使得△BOA∽△COE，必须∠BOA=∠COE，则点E在直线CO的两旁．
①将△BOA绕点O顺时针转90°，得到△B′OA′，此时，点B′（-2，2）是OC的中点，点A′（4，-1），
延长OA′至点E₁，使得OE₁=2OA′，
连接CE₁，此时E₁（8，-2）．
②取点E₁关于直线OC的对称点E₂（2，-8）．
（3）过点O作直线AB的平行线交抛物线于N，O₁是点O关于直线AB的对称点，
过O₁作直线AB的平行线交抛物线于M，点K是直线OB下方上的点，且△KAB面积最大，
易求S_△ABO=3，设K（m，m²+3m），
∵直线AB：y=2X+2，过点K作y轴的平行线交直线AB于H，
∴S_△ABK=S_△HKB+S_△KHA=$\frac{1}{2}×3×（2m+2-{m}^{2}-3m）$=-$\frac{3}{2}（m+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，
∴S_{△ABK最大值}=$\frac{27}{8}$，
当点P在抛物线BN（不包括端点）段运动时，在抛物线BM段上总能找到一个点P′，使得S_△PAB=S_△P′AB，此时m的值为O＜m＜3，
在抛物线BM段上方总能找到一个点K′，使得S_△K′AB=S_△KAB，此时m=$\frac{27}{8}$，
综上所述：O＜m＜3或m=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、旋转与坐标变化、平行线的性质、面积最值问题等重要知识点．第（3）问是本题的难点，其中的要点是通过画平行线确定点P的位置，再确定m的范围．