Question

【题目】如图，正方形中，点、分别是边、的中点，连接，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，连接，则、、三者之间的数量关系为________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证.

如图，取BC的中点G，连接FG，

∵点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点，

∴△AEF和△BGD是两个全等的等腰直角三角形．

∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°．

∴∠EFG=90°，即EF⊥FG．

根据旋转的性质，FP=FQ，∠PFQ=90°．

∴∠GFP=∠GFE-∠EFP=90°-∠EFP，

∠EFQ=∠PFQ-∠EFP=90°-∠EFP．

∴∠GFP=∠EFQ．

在△FQE和△FPG中，

∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ=FP，

∴△FQE≌△FPG（SAS）．

∴EQ=GP．

∴EF=GF=GB=（BP-GP）=（BP-EQ），

故答案为：EF=（BP-EQ）．