Question

在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，点G为线段DF上一点（点G不与D、F重合），AG的延长线交BC于点K，交ED的延长线于点H，连接BH．

（1）如图1：若∠BAC=90°，写出图中所有与∠HBD相等的角，并选取一个给出证明．
（2）如图2：若∠BAC≠90°，在（1）中与∠HBD相等的角中找出一个仍然与∠HBD相等的角，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的性质及相关条件可以得出EH是AB的中垂线，就可以得出∠HBD=∠DAH，DF是AC的中垂线，就可以得出∠DAH=∠DCG，从而就可以得出与∠HBD相等的角；
（2）由D、E、F是中点，就有ED∥AC，DF∥AB，就可以得出△KDG∽△KBA，可以得出

DK

BK

=

KG

KA

，再由△KDH∽△KCA，由其性质可以得出

KD

KC

=

KH

KA

，就可以得出KC•KH=KB•KG，由∠BKH=∠CKA就可以得到△HKB∽△CKA，再由其性质及号得出结论．

解答：解：（1）∵点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线，BD=CD=

1

2

BC，BE=AE，AF=CF．
∴ED∥AC，DF∥AB．
∵∠BAC=90°，
∴AD=

1

2

BC，
∴BD=CD=AD．
∴∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA
∴ED是AB的垂直平分线，DF是AC的垂直平分线，
∴BH=AH，AG=AC，
∴∠HBA=∠HAB，∠GAC=∠GCA．
∴∠HBD=∠HAD，∠HAD=∠DCG，
∴∠HBD=∠HAD=∠DCG，
∴与∠HBD相等的角有：∠HAD、∠DCG；

（2）如图2，∠HBD=∠GCK
∵DG∥AB，
∴△KDG∽△KBA，
∴

DK

BK

=

KG

KA

，
∴DK•KA=BK•KG．
∵DH∥AC，
∴△KDH∽△KCA，
∴

KD

KC

=

KH

KA

，
∴KD•KA=KC•KH，
∴BK•KG=KC•KH，
∴

BK

KC

=

KH

KG

．
∵∠BKH=∠CKG，
∴△HKB∽△GKC，
∴∠HBD=∠GCK．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，中垂线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，在解答本题时巧妙运用相似三角形的性质是关键．