题目内容
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OC=
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(2)当点O位于AC边的什么位置时,四边形AECF是矩形?并给出证明.
分析:(1)由于CE平分∠ACB,MN∥BC,故∠BCE=∠OEC=∠OCE,OE=OC,同理可得OC=OF,故0C=
EF;
(2)根据平行四边形的判定定理可知,当OA=OC时,四边形AECF是平行四边形.由于CE、CF分别是∠ECO与∠OCF的平分线,故∠ECF是直角,则四边形AECF是矩形.
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(2)根据平行四边形的判定定理可知,当OA=OC时,四边形AECF是平行四边形.由于CE、CF分别是∠ECO与∠OCF的平分线,故∠ECF是直角,则四边形AECF是矩形.
解答:证明:(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠OCE,
∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠OEC,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理,OC=OF,
∴OC=OE=OF,
故0C=
EF;
(2)当点O位于AC边的中点时,四边形AECF是矩形.
由(1)知OE=OF,
又O为AC边的中点,
∴OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECO=
∠ACB,∠OCF=
∠ACD,
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=
(∠ACB+∠ACD)=90°,
∴四边形AECF是矩形.
∴∠BCE=∠OCE,
∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠OEC,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理,OC=OF,
∴OC=OE=OF,
故0C=
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(2)当点O位于AC边的中点时,四边形AECF是矩形.
由(1)知OE=OF,
又O为AC边的中点,
∴OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECO=
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∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=
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∴四边形AECF是矩形.
点评:本题考查的是平行线,角平分线,平行四边形及矩形的判定与性质,是一道有一定的综合性的好题.
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