Question

3．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=$\frac{1}{2}$BD，连接AC，若tanB=$\frac{5}{3}$，则tan∠CAD的值（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=$\frac{5}{3}$，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{3}$，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：$\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，进而可得CE=$\frac{3}{2}$x，DE=$\frac{5}{2}x$，从而可求tan∠CAD=$\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{5}$．

解答 解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=$\frac{5}{3}$，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{3}$，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$x，DE=$\frac{5}{2}x$，
∴AE=$\frac{15}{2}x$，
∴tan∠CAD=$\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{5}$．
故选D．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．