Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=BC=2，对角线AC和BD相交于点O．点E在AB上，点F在CB延长线上，连结EF，且BE=BF．
（1）连结AF，CE，则线段AF与CE的位置关系是

 

，数量关系是

 

；
（2）将图1中的△EBF绕点B逆时针方向旋转旋转α角（0°＜α＜90°），连结AF、CE．试在图2中画出旋转后的图形，并判断此时（1）中的两个结论是否成立，写出你的猜想并加以证明；
（3）将图1中的△EBF绕点B逆时针旋转，使到一边BF落在线段BO上，此时△EBF的一边EF与BC交于点M，连结AF、CE．试在图3中画出旋转后的图形，并解答下列问题：
①此时（1）中的两个结论是否成立？（直接写出你的猜想，不必证明．）
②已知OF=

5

6

，试求BM的长．

Answer 1

分析：（1）延长CE交AF于M，证△ABF≌△CBE，推出AF=CE，∠CEB=∠AFB，求出∠ECB+∠AFB=90°，根据三角形内角和定理求出∠CMF=90°即可；
（2）（1）中的两个结论仍然成立，求出∠CBE=∠ABF，证△ABF≌△CBE．推出AF=CE，∠1=∠2，求出∠AMC=90°即可；
（3）①两个结论仍然成立；②在Rt△DAB中，求出BD=

5

，证△AOD∽△COB，求出

OD

OB

=

1

2

，求出OB=

2

3

BD=

2

3

5

，BE=

5

2

，证△BME∽△BOA，得出

BM

OB

=

BE

BA

，即可求出BM．

解答：解：（1）AF⊥CE，AF=CE，
理由是：延长CE交AF于M，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=90°，
在△ABF和△CBE中

AB=BC ∠ABF=∠EBC BF=BE

∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，∠CEB=∠AFB，
∵∠EBC=90°，
∴∠ECB+∠CEB=90°，
∴∠ECB+∠AFB=90°，
∴∠CMF=180°-90°=90°，
∴AF⊥CE；，
故答案为：垂直，相等；

（2）猜想：（1）中的两个结论仍然成立．
证明：∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBF+∠ABE，
∴∠CBE=∠ABF，
在△ABF和△CBE中，

AB=BC ∠ABF=∠CBE BF=BE

∴△ABF≌△CBE（SAS）．
∴AF=CE，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AF⊥CE；

（3）①（1）中的两个结论仍然成立；
②在Rt△DAB中，BD=

AB2+AD2

=

1+4

=

5

，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB．
∴

AD

BC

=

OD

OB

，
∵AD=1，BC=2，
∴

OD

OB

=

1

2

，
∴OB=

2

3

BD=

2

3

5

，
∵OF=

5

6

，
∴BE=BF=OB-OF=

5

2

，
∵∠1+∠FBM=90°，∠2+∠FBM=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠BAO=45°，
∴△BME∽△BOA，
∴

BM

OB

=

BE

BA

，
∴

BM

2 5 3

=

5 2

2

∴BM=

5

6

．

点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的 能力，题目比较典型，证明过程类似．