题目内容

如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和lcm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．

【答案】分析：（1）用t表示出AP、BQ、BP，然后分①∠BQP=90°，②∠BPQ=90°两种情况，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半列式计算即可得解；
（2）过P作PM⊥BC于M，求出PM的长度，然后表示出△PBQ的面积，在过点A作AN⊥BC于N，然后求出AN的长度，再求出△ABC的面积，然后根据S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ整理即可得到y与t的函数关系式，再根据二次函数的最值问题求出t的值，即可得到点P得到位置．
解答：解：（1）根据题意，得AP=2tcm，BQ=tcm，
∵AB=6cm，
∴BP=（6-2t） cm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①当∠BQP=90°时，∵∠B=60°，
∴∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BQ=BP，
即t=（6-2t），
解得t=（秒）．
②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴∠BQP=90°-60°=30°，
∴BP=BQ，
即6-2t=t，
解得t=（秒），
答：当t=秒或t=秒时，△PBQ是直角三角形；

（2）过P作PM⊥BC于M，
则Rt△PBM中，sinB=，
∴PM=PB•sin60°=（6-2t）=（3-t），
S△PBQ=BQ•PM=t•（3-t），
过A作AN⊥BC于N，
则Rt△ABN中，sinB=，
∴AN=AB•sin60°=6×=3，
∴S△ABC=BC•AN=×4×3=6，
∴y=S△ABC-S△PBQ=6-t•（3-t）=t2-t+6，
∴y与x之间的函数关系式为y=t2-t+6，
又∵y=t2-t+6=（t-）2+，
∴当t=时，即AP=2t=3（cm），点P运动到边AB的中点时，四边形APQC的面积最小，其最小面积为．
点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，二次函数的最值问题，解直角三角形，（1）要注意分情况讨论，（2）根据四边形APQC的面积等于两个三角形的面积的差列式是解题的关键，也是常用的方法之一．
练习册系列答案
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精英家教网如图，△ABC中AB的垂直平分线交AC、AB于点P、Q，若PC=2PA，AB=2
2
，∠A=45°，则PC=
 
，BC=
 
．
已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O精英家教网交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=6，cosC=
14
，求⊙O的直径．
精英家教网如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D．若∠A=40°，则∠DBC=
 
．
15、如图，△ABC中AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于D，下列四个结论正确的是
①②③④
．（填序号）
①△AMD≌△BMD；②AD=BD=BC；③△ABC∽△BDC； ④AD2=CD•AC．
15、如图，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF的度数是
70
度．

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