Question

已知：如图，在半径为的⊙O内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点.

 （1）求证：PA·PB=PC·PD；

 （2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EFAD；

 （3）如果AB=8，CD=6，求O、P两点之间的距离.

 

Answer 1

.

（1）证明：

     ∵∠A，∠C所对的圆弧相同，

     ∴∠A =∠C .

     ∵ABCD,

∴Rt△APD∽Rt△CPB .

∴.

∴PA·PB=PC·PD.

（2）证明：

    ∵F为BC的中点，△CPB为直角三角形，

    ∴PF=FC，∠CPF =∠C .

     又∵∠A =∠C，∠DPE =∠CPF，

∴∠A =∠DPE .

∵∠A +∠D=90°，

∴∠DPE +∠D=90°.

∴EFAD . 

（3）解：作OMAB于M, ONCD于N,

∴OMPN为矩形.

连接OB，OD，OP，由垂径定理，得AM=BM=4,CN=DN=3.

      由勾股定理，得， .

      ∴.