Question

6．已知等腰三角形ABC中，AB=AC，三角形的外接圆半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

Answer 1

分析 此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．

解答 解：如图1，当三角形的外心在三角形的内部时，

连接AO并延长到BC于点D，
∵AB=AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在直角三角形BOD中，根据勾股定理，得BD=4，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm）；
当三角形的外心在三角形的外部时，如图2，
在直角三角形BOD中，根据勾股定理，得BD=4，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm）．
即AB的长是4$\sqrt{5}$cm或2$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了勾股定理的运用，能求出符合条件的所有情况时解此题的关键，注意：三角形的外心可能在三角形的外部，可能在三角形的内部，也可能在三角形的一边上，即直角三角形的外心在其斜边的中点．