Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，若MN是经过点C的直线，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求证：DE=AD+BE．
（2）若将MN绕C旋转，使MN与AB相交，其他条件都不变，AD与CE边相等吗？（见图2）．
（3）在图2中，证明AD、BE和DE有何关系？直接写出答案．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）求出∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC=∠ECB，根据AAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出即可；
（3）根据全等三角形性质得出AD=CE，BE=CD，即可求出答案．

解答：（1）证明：AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，AD=CE，
∴DE=DC+CE=AD+BE．

（2）解：AD=CE，
理由是：AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中

∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE；

（3）DE=AD-BE，
证明：∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，SSS，AAS，全等三角形的对应边相等．