Question

【题目】如图，矩形 的顶点 、、 都在坐标轴上，点 的坐标为 ， 是 边的中点．

（1）求出点 的坐标和 的周长；（直接写出结果）

（2）若点 是矩形 的对称轴 上的一点，使以 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点 的坐标；

（3）若 是 边上一个动点，它以每秒 个单位长度的速度从 点出发，沿 方向向点 匀速运动，设运动时间为 秒．是否存在某一时刻，使以 、、 为顶点的三角形与 相似或全等? 若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)，周长为；(2)，；(3)存在，或.

【解析】

(1)根据四边形OABC是矩形和M是BC边的中点，求出点M的坐标，根据勾股定理求出OM的长，得到△COM的周长；

(2)分以OC，OM为边的平行四边形COMQ和以OC，CM为边的平行四边形COQM两种情况讨论即可；

(3)分∠PMO=90和∠MPO=90两种情况，根据相似或全等三角形的性质解答即可．

解：(1)四边形是矩形，

，．

，为中点，

，，．

在中，，

．

的周长．

点，的周长为．

(2)分情况讨论：

当四边形是以，为边的平行四边形，

则，．此时；

当四边形是以，为边的平行四边形，

则点是对称轴与轴的交点，此时；

综上所述，符合条件的点的坐标为，．

(3)存在．

如图．由题意知不可能等于，分两种情况：

当 时，，

． ．

． ．

当 时，，

．

．

．

综上所述，当为或时，与相似或全等．

故答案为：(1)，周长为；(2)，；(3)存在，或.