Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2），且与x轴相切于点B．

（1）当x＝0时，求⊙P的半径；

（2）请直接写出y与x之间的函数关系式，并求出y的最小值；

（3）在⊙P运动过程中，是否存在某一位置，使得⊙P与x轴、y轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝（x﹣1）2+1，1；（3）存在，点P的坐标为（1，1）或（5，5）．

【解析】

（1）由⊙P与x轴相切且过点A（1，2），可得出y＞0，当x＝0时，利用两点间的距离公式及半径相等，可得出关于y的方程，解之即可得出y值，进而可得出⊙P的半径；

（2）利用两点间的距离公式及半径相等，可得出y与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质可求出y的最小值；

（3）由（2）的结论结合x＝y，可得出关于x的方程，解之可得出x的值，进而可求出点P的坐标．

解：（1）∵⊙P与x轴相切，且过点A（1，2），

∴y＞0．

当x＝0时，PB＝PA，即y＝，

等式两边同时平方，得：y2＝1+（2﹣y）2，

整理，得：4y﹣5＝0，

解得：y＝，

∴当x＝0时，⊙P的半径为．

（2）由题意得：y2＝（1﹣x）2+（2﹣y）2，

∴y＝x2﹣x+．

∵y＝x2﹣x+＝（x﹣1）2+1，

∵＞0，

∴当x＝1时，y取得最小值，最小值为1．

（3）∵⊙P与x轴、y轴均相切，且过点A（1，2），

∴x＝y＞0．

由（2），得：x＝x2﹣x+，

整理，得：x2﹣6x+5＝0，

解得：x1＝1，x2＝5，

∴y1＝1，y2＝5，

∴在⊙P运动过程中，存在某一位置，使得⊙P与x轴、y轴都相切，此时点P的坐标为（1，1）或（5，5）．