题目内容

如图，反比例函数 $数学公式$ （x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= $数学公式$ ．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数 $数学公式$ （x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．

解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AB=3，∴A点的坐标为（2，3）
∴k=xy=6
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
又∵点E在双曲线 $\text{[math]}$ 上，∴点E的坐标为（4， $\text{[math]}$ ）
设直线MN的函数表达式为y=k₁x+b，则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，∴直线MN的函数表达式为 $\text{[math]}$ ．

（3）结论：AN=ME…
理由：在表达式 $\text{[math]}$ 中，令y=0可得x=6，令x=0可得y= $\text{[math]}$ ，
∴点M（6，0），N（0， $\text{[math]}$ ）
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF= $\text{[math]}$ ，
∴根据勾股定理可得AN= $\text{[math]}$
∵CM=6-4=2，EC= $\text{[math]}$
∴根据勾股定理可得EM= $\text{[math]}$
∴AN=ME…
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵S_△EOM= $\text{[math]}$ ，S_△AON= $\text{[math]}$ …
∴S_△EOM=S_△AON，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME
分析：（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得．
点评：本题是待定系数法求一次函数的解析式，以及勾股定理的综合应用，求得E的坐标是关键．