Question

15．已知一个矩形四个顶点都在反比例函数y=$\frac{1}{x}$上，且其中一个顶点横坐标为2，求这个矩形面积．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得一个顶点为（2，$\frac{1}{2}$），再根据矩形四个顶点都在反比例函数y=$\frac{1}{x}$上，利用对称性可得其它三个顶点为（$\frac{1}{2}$，2），（-2，-$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-2），最后利用两点间距离公式即可得到矩形的边长以及面积．

解答 解：∵矩形顶点在反比例函数y=$\frac{1}{x}$上，且其中一个顶点横坐标为2，
∴当x=2时，y=$\frac{1}{2}$，即一个顶点为（2，$\frac{1}{2}$），
又∵矩形四个顶点中，相邻的顶点关于直线y=x或y=-x对称，
∴其它三个顶点为（$\frac{1}{2}$，2），（-2，-$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-2），
∴矩形的边长为：$\sqrt{（-\frac{1}{2}-2）^{2}+（-2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴矩形的面积=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$×$\frac{3}{2}\sqrt{2}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象的运用，解题时注意：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．