Question

【题目】如图，， 点分别在线段上，且

求证:

已知分别是的中点，连结

①若，求的度数:

②连结当的长为何值时，四边形是矩形?

Answer 1

【答案】（1）详情见解析；（2）①15°，②

【解析】

（1）通过证明△ABD△ACE进一步求证即可；

（2）①连接AF、AG，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出AF=BD=BF，AG=CE=GC，由此进一步证明△AFG为等边三角形，最后利用△ABF△ACG进一步求解即可；②连接BC，再连接EF、DG并延长分别交BC于点M、N，首先根据题意求得BM=DE=NC，然后利用△ABC~△AED进一步求解即可.

（1）在△ABD与△ACE中，

∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ABD△ACE(SAS)，

∴BD=CE；

（2）①连接AF、AG，

∵AF、AG分别为Rt△ABD、Rt△ACE的斜边中线，

∴AF=BD=BF，AG=CE=GC，

又∵BD=CE，FG=BD，

∴AF=AG=FG，

∴△AFG为等边三角形，

易证△ABF△ACG(SSS)，

∴∠BAF=∠B=∠C=∠CAG，

∴∠C=15°；

②连接BC、DE，再连接EF、DG并延长分别交BC于点M、N，

∵△ABC与△AED都是等腰直角三角形，

∴DE∥BC，

∵F、G分别是BD、CE的中点，

∴易证△DEF△BMF，△DEG△NCG(ASA)，

∴BM=DE=NC，

若四边形DEFG为矩形，则DE=FG=MN，

∴，

∵DE∥BC，

∴△ABC~△AED，

∴，

∵AC=4，

∴AD=，

∴当AD的长为时，四边形DEFG为矩形.